Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

либо, согласно правилу перемножения матриц,

AX = B.

Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А именуется расширенной матрицей.

Способ Крамера

Применяется для решения квадратных систем уравнений и определитель должен быть не равен нулю.

Система из n уравнений с n неведомыми

в Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы подменой столбца i столбцом свободных членов bi.


Билет 11. Способ Гаусса решения случайных систем линейных алгебраических уравнений Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами. Привести пример.

Способ поочередного исключения переменных – состоит в том, что при помощи простых преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (либо треугольного) вида, из которой поочередно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все другие переменные.

Пример

Выписываем расширенную матрицу

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 – 4x3 = -4

-14x3 = -14

x3=1, x2=0, x1=-1


Билет 12. Решение Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами системы линейных алгебраических уравнений матричным способом (при помощи оборотной матрицы). Привести пример.

Матричный способ.

Систему можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных

членов и решений системы соответственно:

множим это матричное уравнение слева на A - 1 — матрицу, оборотную к Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами матрице A:

Потому что A −1A = E, получаем X = A -1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений начальной системы. Условием применимости данного способа (число Ур-й равно числу неведомых)является невырожденность матрицы A. Нужным и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Пример:

Поначалу убедимся в том Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами, что определитель матрицы не равен нулю

Сейчас вычислим алгебраические дополнения для частей матрицы, состоящей из коэффициентов при неведомых. Они нам пригодятся для нахождения оборотной матрицы.

Дальше найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения оборотной матрицы

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось отыскать неведомые. Для этого перемножим Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами оборотную матрицу и столбец свободных членов

Итак, x=2; y=1; z=4


Билет 13. Исследование систем линейных алгебраических уравнений при помощи аксиомы Кронекера-Капелли.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — аспект совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Подтверждение

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда есть числа такие, что . Как следует, столбец b является линейной композицией столбцов матрицы A. Из Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами того, что ранг матрицы не поменяется, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть либо приписать строчку (столбец), которая является линейной композицией других строк (столбцов) следует, что

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице A какой-либо базовый минор. Потому что то он же и будет базовым минором и матрицы B Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами. Тогда согласно аксиоме о базовом миноре последний столбец матрицы B будет линейной композицией базовых столбцов, другими словами столбцов матрицы A. Как следует, столбец свободных членов системы является линейной композицией столбцов матрицы A.

Следствия

1.Количество основных переменных системы равно рангу системы.

2.Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами всех её переменных.


Билет 14. Системы линейных однородных уравнений. Характеристики их решений.

Однородные СЛУ имеют вид

а11х1+а12х2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

……………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=0

Однородные СЛУ всегда совместны, другими словами имеет хотя бы одно решение.

Характеристики:

х1=к1, х2=к2,…,хn=kn

е Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами1=(k1,k2,…,kn)

1.если строчка е1=(k1,k2,…,kn) – решение системы, то и строчка ʎе1=( ʎk1, ʎk2,…, ʎkn) – тоже будет являться решением системы.

2.если строчки е1=(k1,k2,…,kn) и е2=(l1,l2,ln) – решения систмы, то при всех с1 и с2 их линейный композиции с1е1+с2е2=(c Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами1k1+c2l1, c1k2+c2l2,…,c1kn+c2ln) – тоже решение системы.

Билет 15. Структура общего решения системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Общее решение однородных СЛУ. Структура общего решения однородных СЛУ.

Общее решение однородных СЛУ имеет вид:

c1e1+c2e2+…+ckek, где е1,e Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами2,…,ek – базовая система решений, а c1,c2,...,ck – произвольные числа и k=n-r.

Общее решение системы m линейных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответсвующей системе однородных СЛУ и случайного личного решения этой системы.

Билет 16. Общее решение систем линейных алгебраических уравнений.

????????


Билет 17. Понятие линейного места. Примеры

Разглядим такое Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами огромное количество R частей x, y, z…, в каком для всех 2 частей xЄR и yЄR определена сумма x+yЄR и для хоть какого элемента xЄR и хоть какого реального числа λ определено произведение λxЄR.

Если сложение частей огромного количества R и умножение реального числа λ на элемент удовлетворяет условиям:

1) x+y Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами = y+x

2) (x+y)+z = x+(y+z)

3) существует таковой элемент ОЄR (нуль-элемент), что x+0 = x для хоть какого xЄR

4) для каждого xЄR существует yЄR таковой, что x+y = 0 (y = -x)

5) 1*x = x

6) λ(µx) = (λµ)x

7) (λ+µ)x = λx + µx

8) λ(x+y) = λx + λy

то огромное количество R – линейное (либо векторное), а элементы x, y, z Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами… этого места именуются векторами.

1. В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент.

2. Для каждого элемента линейного места существует только 1 обратный элемент.

3. Для каждого xЄR производится 0x = 0

4. Для хоть какого реального λ и ОЄR x, λ = 0

5. Из равенства λx = 0 следует x = 0 либо λ = 0

6. элемент (-1)*x обратный элементу x


Билет 18. Линейная зависимость и независимость системы Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами векторов линейного места. Базис линейного места. Пример.

Если в линейном пространстве R имеется n линейно независящих векторов, но любые n+1 векторов этого места линейно зависимы, то место R именуют n-мерным. Принято также гласить, что размерность места R равна n и писать d(R)=n. Место, в каком Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами можно отыскать сколь угодно много линейно независящих векторов, именуется бесконечномерным и d(R) = ∞.

Совокупа n линейно независящих векторов n-мерного линейного места именуется базисом.

Пусть x, y, z, …, u – какие-нибудь векторы линейного места R. Вектор, определяемый равенством

v = αx + βy + γz + … + λu,

где α, β, γ, …, λ – действительные числа, также принадлежат линейному месту R Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами. Этот вектор именуется линейной композицией векторов x, y, z, …, u.

Пусть линейная композиция векторов x, y, z, …, u является нуль-вектором, т.е.

αx + βy + γz + … + λu, = 0

Векторы x, y, z, …, u именуются линейно независящими, если равенство производится только при α = β = γ = … = λ=0. Если же равенство может производится исключительно в том случае, когда Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами не все числа α, β, γ, …, λ равны нулю, то молвят, что векторы x, y, z, …, u линейно зависимы. Векторы x, y, z, …, u линейно зависимы и тогда только тогда, когда один из этих векторов может быть представлен в виде линейной композиции других векторов.


Билет 19. Координаты векторов линейного места. Единственность разложения вектора по Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами данному базису.

Если в линейном пространстве R имеется n линейно независящих векторов, но любые n+1 векторов этого места линейно зависимы, то место R именуют n-мерным. Принято также гласить, что размерность места R равна n и писать d(R)=n. Место, в каком можно отыскать сколь угодно много Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами линейно независящих векторов, именуется бесконечномерным и d(R) = ∞.

Совокупа n линейно независящих векторов n-мерного линейного места именуется базисом. Справедлива последующая аксиома: каждый вектор линейного n-мерного места может быть единственным образом представлен в виде линейной композиции векторов базиса. Так, если e1, e2, …., en – базис n-мерного линейного места Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами R, то хоть какой вектор xЄR может быть единственным образом представлен в виде:

x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

Таким макаром, вектор x в базисе e1, e2, …., en определяется единственным образом при помощи чисел ξ1, ξ2, …, ξn. Эти числа именуются координатами вектора x в данном базисе.

Если x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами, y = η1e1 + η2e2 + … + ηnen, то x + y = (ξ1 + η1) e1 + (ξ2 + η2) e2 + … + (ξn + ηn) en, λx = λξ1e1 + λξ2e2 + … + λξnen.

Аксиома. Каждый вектор x линейного места R можно представить и притом единственным образом в в идее линейной композиции векторов базиса.

Пусть векторы e1, e2, …, en образуют базис случайного n-мерного места R, векторы e1, e Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами2, …, en и некий вектор x зависимы, тогда есть такие не равные сразу нулю числа λ1, λ2, …,λn, λ, что

λ1e1 + λ2e2 + …,λnen + λx = 0.

При этом λ≠0, так как в неприятном случае векторы e1, e2, …, en могли быть линейно зависимы. Как следует,

x = x1e1 + x2e2 + … + xnen,

где xi = - λi/ λ(i = 1, 2, …, n Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами), и это выражение вектора через базис единственное, потому что если представить, к примеру:

x = y1e1 + y2e2 + … + ynen,

то вычитая из него почленно 1-ое получим:

(y1 – x1)e1 + (y2 – x2)e2 + … + (yn – xn)en = 0, т.е. y1 – x1 = 0 либо y1 = x1.


Билет 20. Аспект линейной зависимости системы векторов. Ранг Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами системы векторов. Привести примеры.

Пусть x, y, z, …, u – какие-нибудь векторы линейного места R. Вектор, определяемый равенством

v = αx + βy + γz + … + λu,

где α, β, γ, …, λ – действительные числа, также принадлежат линейному месту R. Этот вектор именуется линейной композицией векторов x, y, z, …, u.

Пусть линейная композиция векторов x, y, z, …, u является нуль Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами-вектором, т.е.

αx + βy + γz + … + λu, = 0

Векторы x, y, z, …, u именуются линейно независящими, если равенство производится только при α = β = γ = … = λ=0. Если же равенство может выполнятся исключительно в том случае, когда не все числа α, β, γ, …, λ равны нулю, то молвят, что векторы x, y, z, …, u линейно зависимы. Векторы x, y, z, …, u Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами линейно зависимы и тогда только тогда, когда один изз этих векторов может быть представлен в виде линейной композиции других векторов.

Число векторов в базисе системы именуется рангом системы векторов.Определение ранга корректно, а конкретно, если есть два разных базиса a1, a2, …, akи b1, b2, …, bmнекоторой системы векторов, то число базовых Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами векторов в обоих базисах идиентично. Согласно определению базиса хоть какой вектор из a1, a2, …, akможет быть выражен как линейная композиция b1, b2, …, bm. Так, если k > m, то a1, a2, …, akявляются линейно зависимыми, но это нереально, так как эти векторы являются базисом системы. Аналогично можно обосновывать, что случай Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами m > k неосуществим. Таким макаром, m = k. Из этой аксиомы следует, что если мы используем некие обратимые линейные преобразования векторов, ранг системы остается постоянным. К примеру, можно использовать преобразование Гаусса, чтоб упростить систему.


Билет 21. Преобразование координат вектора при переходе к новенькому базису.

Пусть в линейном n-мерном пространстве R Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами имеются два базиса старенькый e1, e2, …, en и новый e’1, e’2, …, e’n. Даны зависимости, выражающие каждый вектор нового базиса через векторы старенького:

e’1 = a11e1 + a21e2 + … + an1en

e’2 = a12e1 + a22e2 + … + an2en

........................................................

e’n = a1ne1 + a2ne2 + … + annen

Матрицу именуют матрицей перехода от старенького базиса Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами к новенькому.

Возьмем какой-либо вектор x, пусть (α1, α2, …, αn) его координаты древнем базисе, а (α’1, α’2, …, α’n) – в новеньком. Старенькые координаты выражаются через новые по формулам:

α1 = a11α’1, + a12α’2 + … +a1nα’n

α2 = a21α’1, + a22α’2 + … +a2nα’n

…………………………………………………………

αn = an1α’1, + an2α’2 + … +annα’n

Это формулы преобразования координат.

Столбцы матрицы А это координаты в формулах перехода от старенького Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами базиса к новенькому, а строчки – координаты в формулах преобразования старенькых координат через новые.


Билет 22.Евклидово место. Длина вектора и угол меж его векторами

Линейное место R именуется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых 2 векторов x и y из R выстроить действительное число, называемое скалярным произведением x Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами и y и обозначаемое (x,y), это праивло удовлетворяет последующим условиям:

1. (x,y) = (y,x)

2. (x, y+z) = (x,y) + (x,z)

3. (λx, y) = λ(x,y)

4. (x,x)>0, если x≠0

Из этих критерий следует:

а)(y+z, x) = (y,x)+(z,x)

б)( x, λy) = λ(x,y)

в)(0,x) = 0 для хоть какого Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами x

Скалярное произведение хоть какого вектора xЄR на себя именуется скалярным квадратом вектора x.

Длина вектора x в евклидовом пространстве – квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора | x | = √(x,x).

Угол φ, определяемый равенством и принадлежит отрезку [0;π], именуется углом меж векторами x и y ортогональны и пишут x┴y.


Билет 23. Ортогональные Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами векторы. Ортонормированный базис евклидова места. Длина вектора и угол меж векторами в ортонормированном базисе.

Базис e1, e2, …, en евклидова места именуется ортогональным, если (ei, ek) = 0, при i≠k.

Справедлива последующая аксиома: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот Билет 22.Евклидово пространство. Длина вектора и угол между его векторами базис именуется ортонормированным. Для ортогонального базиса e1, e2, …, en производятся равенства

(ei, ek)=

Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-либо базис f1, f2, …, fn


bilet-55-obshaya-harakteristika-tipa-chlenistonogie.html
bilet-6-geograficheskaya-i-antropologicheskaya-klassifikaciya-etnosov.html
bilet-6-primernie-otveti-na-profilnie-bileti-e-a-eremin-a-p-shestakov.html